La logica matematica è una branca della logica e della matematica che contiene studi matematici di logica e l'applicazione di questo studio ad altri campi al di fuori della matematica. La logica matematica è strettamente correlata all'informatica e alla logica filosofica, i cui temi principali sono il potere espressivo della logica formale e il potere deduttivo dei sistemi di prova formali. La logica matematica è spesso divisa in rami dalla teoria degli insiemi, teoria dei modelli, teoria della ricorsione, teoria della dimostrazione e matematica costruttiva. Questi campi hanno gli stessi risultati logici di base.
Dichiarazione
Nella logica matematica impareremo a determinare il valore di un'affermazione. L'affermazione stessa è una frase che è certo di avere un valore vero o un certo valore falso, ma non entrambi.
Dichiarazione chiusa e dichiarazione aperta
Le dichiarazioni vengono quindi divise in due tipi, dichiarazioni chiuse (frasi chiuse) e dichiarazioni aperte (frasi aperte) . Un'affermazione chiusa è un'affermazione il cui valore di verità è certo, mentre un'affermazione aperta è un'affermazione il cui valore di verità è incerto.
Esempi di dichiarazioni:
- 9 è un numero dispari >> questa affermazione è vera
- Jakarta è la capitale dell'India >> questa affermazione è falsa
Nella logica matematica, le dichiarazioni sono rappresentate dalle lettere p, q o r.
Le frasi aperte sono frasi matematiche che non hanno un valore di verità. Questa frase contiene sempre variabili.
Esempi di frasi aperte:
- A è conosciuta come la città della pioggia
- Atha non va a scuola a causa di una malattia
A differenza delle frasi chiuse in cui è possibile accertare il valore di verità, le frasi aperte, vere e false, sono ancora discutibili. Pertanto questa frase non può essere detta come un'affermazione.
Una frase aperta può essere trasformata in un'affermazione se le variabili nella frase sono sostituite da un valore in modo che la frase abbia un valore di verità.
Esempio:
Una nota come la città della pioggia è una frase aperta, mentre
Bogor è conosciuta come la città della pioggia è una frase dichiarativa
Negazione
Dopo aver capito cos'è un'affermazione e cos'è una frase aperta, il passo successivo è discutere la negazione.
La negazione o anche chiamata negazione / rifiuto è un'affermazione che nega ciò che viene dato. È possibile formare una memoria di un'istruzione aggiungendo "Non è vero che ..." davanti all'istruzione negata. Questo è indicato da ~.
Diciamo che p è vero, poi ~ p è falso. Viceversa, se p è falso, allora ~ p è vero.
Esempio di negazione della dichiarazione:
- Jakarta è la capitale della Malesia
Jakarta non è la capitale della Malesia
- 9 è un numero dispari
9 non è un numero dispari
Dichiarazioni composte
Quindi, l'istruzione viene suddivisa in istruzioni composte, che in questo caso sono suddivise in diversi tipi:
- Congiunzione
- Disgiunzione
- Implicazioni
- Biimplicazione
1. Conggiunzioni
La congiunzione , che è denotata da (Ʌ) è un'affermazione composta con la congiunzione "e". Sarà vero se le variabili sono vere e falso se una delle variabili è falsa.
Esempio:
p: Jakarta è la capitale del mondo (affermazione con valore reale)
q: Jakarta è una città metropolitana (affermazione con valore reale)
p ^ q: Jakarta è la capitale del mondo e una città metropolitana (affermazione con veri valori)
2. Disgiunzione
La disgiunzione , che è denotata da (V), è un'affermazione composta che è formata combinando due singole affermazioni usando la congiunzione "o". Una disgiunzione è vera se una delle affermazioni è vera e falsa se entrambe le affermazioni sono false.
Esempio:
p: Jakarta è la capitale del mondo (affermazione con valore reale)
d: Jakarta è una città di studenti (dichiarazione con valore falso)
pVq: Jakarta è la capitale del mondo o città studentesca (dichiarazione con valore reale)
3. Implicazioni
L'implicazione sono due domande p e q che sono enunciate nella forma della frase "se p allora q". Questo è indicato da p -> q.
Esempio:
p: Atha è diligente nello studio (affermazione con vero valore)
q: Atha ha superato con un punteggio brillante (dichiarazione di valore reale)
p-> q: se Atha è diligente nello studio, allora Atha passerà con un punteggio brillante (l'affermazione è vera)
4. Biimplicazioni
La biimplicazione è un'affermazione composta espressa nella forma della frase "... se e solo se". È indicato con pq, leggi "p se e solo se q".
Esempio:
p: 1 + 1 = 2 (l'affermazione è vera)
q: 2 è un numero dispari (dichiarazione falsa)
pq: 1 + 1 = 2 se e solo se 2 è un numero dispari (dichiarazione di valore falso)
