Cos'è l'induzione matematica?

La matematica è uno stigma spaventoso per gli studenti, anche se più esplori e pratichi la matematica spesso, più sarà divertente e divertente. Quindi , ora ti inviteremo a saperne di più sull'induzione matematica. Cos'è l'induzione matematica e a cosa serve?

L'induzione matematica stessa può essere interpretata come una tecnica di dimostrazione in matematica. È usato per provare affermazioni speciali contenenti numeri naturali. La prova che utilizza questo metodo produce conclusioni generali.

Introduzione all'induzione matematica

Dimostrando usando l'induzione matematica, si ottengono conclusioni generali. Esistono due tipi di ragionamento utilizzati per ottenere conclusioni, vale a dire il ragionamento deduttivo e il ragionamento induttivo.

  • Il ragionamento deduttivo è un ragionamento che parte da affermazioni generali a dichiarazioni specifiche. Questo approccio è chiamato approccio "generale-specifico" perché il ragionamento parte dalla cosa generale e poi si conclude con cose specifiche. Esempio; tutte le mele sono frutti, tutti i frutti crescono sugli alberi, quindi tutte le mele crescono sugli alberi.
  • Il ragionamento induttivo è un ragionamento che parte da affermazioni specifiche a dichiarazioni generali. Questo approccio è chiamato approccio "generale specifico" perché le dichiarazioni sono composte da punti specifici per arrivare a conclusioni generalmente accettate. Esempio; Un passeggero dell'autobus osserva che ogni volta che l'autista dell'autobus preme il pedale del freno, tutti i passeggeri dell'autobus verranno spinti in avanti.

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Inoltre, il metodo dell'induzione matematica può essere utilizzato per dimostrare la verità di un'ipotesi speciale in modo che sia generalmente accettata. Quindi questo metodo è usato nella dimostrazione nel ragionamento induttivo.

Applicazione dell'induzione matematica

L'applicazione dell'induzione matematica può essere trovata in vari rami della matematica. Le ipotesi organizzate in matematica devono essere dimostrate per essere generalmente accettate. Un'ipotesi è generalmente valida se è dimostrata per tutti i valori numerici utilizzati. Ecco un esempio di un'affermazione che può essere dimostrata in questo modo.

Dimostra che la somma delle serie di numeri dispari -n è n2. Dove n è un numero naturale.

Soluzione: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 si applica a ogni n € A

Il passo fondamentale: per n = 1, otteniamo che P1 = 1 = 12 è corretto.

Fase di induzione: supponiamo che per n = k, P k sia vero. Si mostrerà che per n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 è vero.

Prestare attenzione ai seguenti passaggi:

Per n = k, allora P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 è vero.

Aggiungendo [2 (k + 1) -1] ai due lati, quindi

P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (provato)

Principi di induzione matematica

Sia P (n) un'affermazione contenente numeri naturali. L'espressione P (n) può essere dimostrata vera per tutti i numeri naturali n, seguendo i passaggi dell'induzione matematica.

Ecco i passaggi della prova utilizzando questo metodo:

  1. Dimostra che P (1) è vero o P (n) è vero per n = 1.
  2. Se P (k) è vero, allora mostra che P (k + 1) è vero per ogni intero positivo k.

Se i passaggi (1) e (2) sono corretti, si può concludere che P (n) è vero per ogni numero naturale n. La fase 1 è chiamata fase di base, mentre la fase 2 è chiamata fase di induzione.