In architettura, ci sono calcoli matematici per la costruzione di edifici, uno dei quali è un sistema di equazioni lineari. Il sistema di equazioni lineari è utile per determinare le coordinate dei punti di intersezione. Le coordinate corrette sono essenziali per produrre un edificio che corrisponda allo schizzo. In questo articolo, discuteremo un sistema di equazioni lineari a tre variabili (SPLTV).
Il sistema di equazioni lineari a tre variabili è costituito da diverse equazioni lineari con tre variabili. La forma generale di un'equazione lineare a tre variabili è la seguente.
ax + di + cz = d
a, b, c e d sono numeri reali, ma a, bec non possono essere tutti 0. L'equazione ha molte soluzioni. Una soluzione può essere ottenuta equiparando qualsiasi valore alle due variabili per determinare il valore della terza variabile.
Un valore (x, y, z) è l'insieme di soluzioni per un sistema di equazioni lineari a tre variabili se il valore (x, y, z) soddisfa le tre equazioni in SPLTV. Il set di regolamento SPLTV può essere determinato in due modi, vale a dire il metodo di sostituzione e il metodo di eliminazione.
Metodo di sostituzione
Il metodo di sostituzione è un metodo per risolvere sistemi di equazioni lineari sostituendo il valore di una variabile da un'equazione a un'altra. Questo metodo viene eseguito fino a quando tutti i valori delle variabili sono ottenuti in un sistema a tre variabili di equazioni lineari.
(Leggi anche: Sistema di equazioni lineari a due variabili)
Il metodo di sostituzione è più facile da usare su SPLTV che contiene equazioni con un coefficiente di 0 o 1. Ecco i passaggi per risolvere il metodo di sostituzione.
- Trova un'equazione che abbia forme semplici. Le equazioni semplificate hanno un coefficiente di 1 o 0.
- Esprimi una variabile nella forma delle altre due variabili. Ad esempio, la variabile x è espressa in termini di y o z.
- Sostituire i valori delle variabili ottenuti nella seconda fase in altre equazioni in SPLTV, in modo da ottenere un sistema di equazioni lineari a due variabili (SPLDV).
- Determinare la liquidazione SPLDV ottenuta nel passaggio tre.
- Determina i valori di tutte le variabili sconosciute.
Facciamo il seguente problema di esempio. Trova l'insieme di soluzioni per il seguente sistema di equazioni lineari a tre variabili.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Innanzitutto, possiamo convertire l'equazione (1) in, z = -x - y - 6 nell'equazione (4). Quindi, possiamo sostituire l'equazione (4) nell'equazione (2) come segue.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Dopodiché, possiamo sostituire l'equazione (4) all'equazione (3) come segue.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Abbiamo i valori per x = -5 e y = -3. Possiamo inserirlo nell'equazione (4) per ottenere il valore z come segue.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3-6
z = 2
Quindi, abbiamo l'insieme di soluzioni (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Metodo di eliminazione
Il metodo di eliminazione è un metodo per risolvere sistemi di equazioni lineari eliminando una delle variabili in due equazioni. Questo metodo viene eseguito finché non rimane una sola variabile.
Il metodo di eliminazione può essere utilizzato in tutti i sistemi di equazioni lineari a tre variabili. Ma questo metodo richiede un passaggio lungo perché ogni passaggio può eliminare solo una variabile. Per determinare il set di regolamento SPLTV sono necessari almeno 3 metodi di eliminazione. Questo metodo è più semplice se combinato con il metodo di sostituzione.
I passaggi per il completamento utilizzando il metodo di eliminazione sono i seguenti.
- Osserva le tre somiglianze su SPLTV. Se due equazioni hanno lo stesso coefficiente sulla stessa variabile, sottrarre o sommare le due equazioni in modo che la variabile abbia un coefficiente di 0.
- Se nessuna variabile ha lo stesso coefficiente, moltiplica entrambe le equazioni per il numero che rende uguale il coefficiente di una variabile in entrambe le equazioni. Sottrai o somma le due equazioni in modo che la variabile abbia un coefficiente 0.
- Ripeti il passaggio 2 per altre coppie di equazioni. La variabile omessa in questo passaggio deve essere la stessa della variabile omessa nel passaggio 2.
- Dopo aver ottenuto due nuove equazioni nel passaggio precedente, determinare l'insieme di soluzioni per le due equazioni utilizzando il metodo di soluzione del sistema di equazioni lineari a due variabili (SPLDV).
- Sostituire il valore delle due variabili ottenute al passaggio 4 in una delle equazioni di SPLTV in modo da ottenere il valore della terza variabile.
Cercheremo di utilizzare il metodo di eliminazione nel seguente problema. Determina il set di soluzioni SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV può determinare l'insieme di soluzioni eliminando la variabile z. Innanzitutto, somma le equazioni (1) e (2) per ottenere:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Quindi, moltiplica 2 nell'equazione (2) e moltiplica 1 nell'equazione (1) per ottenere:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
Dopo aver conosciuto il valore di x, sostituiscilo con l'equazione (4) come segue.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Sostituisci i valori xey nell'equazione (2) come segue.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
In modo che l'insieme di soluzioni SPLTV (x, y, z) sia (5, 3, -1).
